ヨビノリ今週の積分・ファボ22の解説

知らない方が良かったこと、そうですねぇ・・・。

自分が高校生の時どうしても好きになれない、というよりキライにけっこう近い感情を抱いてた人がいて、大学生になってその人と当時ぼくが好きだった人が付き合っているということですね。

しかもそれを成人式の日に狙ってた人の友人から聞かされ、さらに狙ってた人とその友人と自分は中2、3の時同じクラスメイトで3人とも同じ高校に進んだという…。

まず、解説する前に

そもそも何を計算したら問の積分は出現するのか？

を明らかにします。

 今回の問、その正体は

√ ( x² + 1 ) を限られた範囲で x = tan θ とおいて積分した式

です。

 √ ( x² + 1 ) は高難易度積分にして一見さんお断り積分です。

が、x² + 1 を見て x = tan θ を連想、置換積分すると今回のルート入りをします。

ただ、その解き方を推奨していないコンテンツも存在します。

それは計算量が多いからですが具体的にどんな計算をするのか？そこを見ていきましょう。

 計算を進めるとこのような恒等式を解かされます。

まず、左辺をまとめましょう。

 全て展開してはいけません。

係数だけを抜き出して展開します。

ただ、項が多めなのでこのようにして構いません。

結果、次の連立方程式が得られます。

 3元ならまだしも、4元1次連立方程式を解かされるのです。

加えて上のような展開をさせられる、それが計算量が多いとされる所以(ゆえん)なのです。

では早速連立方程式を解きます。

解くのに苦労した？

それは連立方程式の大原則を理解していないからです。

そんなのただひとつ、

1文字ずつ消去する

です。

 ということで部分分数分解が可能になりました。

ただ、計算が多いと思った人たちにマリーアントワネットイズムあふれる言葉を投げかけたい。

だったら展開しなければいいじゃない、連立方程式を解かなければいいじゃない

いきなり部分分数分解をすればいいんです。

でもどうすれば良いか分からないでしょう。

その答えを示します。

こうすることで計算量がぐっと抑えられました。

後は t を sin θ に直して終わりです。

 こうして問の答えが求まりました。

これで√ ( x² + 1 ) が求められますね！

オマケとして ∫ √ ( x² + 1 ) dx の求め方を置いときます。