通分・32の巻

まず (分母の次数) > (分子の次数) であることが分かります。

よって分子の次数下げを行います。

が分子がそれぞれ ( x - 1 )、( x + 1 )なのでわざわざ整式の割り算を行うことなく

x² - 4x + 5 から( x - 1 )² = x² - 2x + 1

x² - 2x - 4 から( x + 1 )² = x² + 2x + 1

を作り出します。

よって

x² - 4x + 5

=( x² - 2x + 1 ) - 2x + 4

x² - 2x - 4

=( x² + 2x + 1 ) - 4x - 5

と変形します。

すると3行目の式が得られます。

今度は第２項、第４項をさらに変形します。

2x - 4 を a( x - 1 ) + b、4x + 5 を a( x + 1 ) + b の形にするaとbの値をそれぞれ求めます。

その結果が4行目の式です。

約分して５行目、最後に 1 / ( x + 1 ) + 2 / ( x - 1 ) を計算して答えが求まります。

今回の問題は通分よりも割り算をしない次数下げの練習として使えるような。

あと3行目から次数下げをすることなく

( 4x + 5 ) / ( x + 1 ) - ( 2x - 4 ) / ( x - 1 )

を計算、通分してやって構いません。

どうせ分子の次数は2で押さえられるんだし。