通分・27の巻
練習問題にありそうな問d(ry
問を見れば分かるように、
(分子の次数) > (分母の次数) となっていますから次数下げを行いましょう。
分母はそれぞれ x + 2 、x - 1 ですから ( x + 2 )2 と
( x - 1 )2 を作ります。
そうなるために
x2 - x - 5 = x2 + 4x + 4 - 5x - 9
x2 - 4x + 2 = x2 - 2x + 1 - 2x + 1
と変形します。
3行目の通りになり、一気に通分してもまあ大丈夫ですがもう一工夫いたしましょう。
5x + 9 = a ( x + 2 ) + b、2x - 1 = a ( x - 1 ) + bとなるようにさらに変形します。
最初のうちは恒等式を解く要領でaとbの値を求めて構いませんがそこも暗算で行きたいですね。
5行目の式が得られ、なんと定数が完全に打ち消されて 1 / ( x + 2)と1 / ( x - 1 )だけが残るのです!!
あとはサクッと通分して ( 2x + 1 ) / ( x - 1 )( x + 2 ) が得られます。