多項式、その展開

この単元では印象に残ってるもののひとつとして多くの人から挙げられるかもしれない？式の展開や因数分解をやっていきます。

まずは式の展開を見ていきます。

主に3パターンあり、

1つめは（多項式）×（多項式）

2つめは（多項式）÷（単項式）

3つめは（多項式）×（多項式）

です。

（多項式）×（単項式）

多項式と単項式同士の掛け算では分配法則を用いて計算をします。

（多項式）÷（単項式）

（多項式）×（多項式）

まず、分配法則を使って ( a × b ) × M を計算してみましょう。

すると a × M + b × M になります。

そのMが実は( c + d )と同じ、すなわち

M＝c + d だとするとどうでしょうか。

つまり

a × M + b × M ＝ a × ( c + d ) + b × ( c + d )  

です。

a × ( c + d ) と b × ( c + d ) はともに

（多項式）×（単項式）の形です。

分配法則を使って計算すると

a × ( c + d ) ＝ ac + ad 、b × ( c + d ) = bc + bd

です。

よって、

ですから

( a + b )( c + d )＝ac + ad + bc + bd

となります。

計算順序はこの通りです。

これまでの単項式や多項式の積をかっこを外して単項式の和の形にすることを、はじめの式を展開する、といいます。

今度は ( x + a )( x + b ) を展開してみましょう。

つまり、( x + a )( x + b ) を展開して x² +○x +△ の形にすると

○＝(aとbの和) 、△=(aとbの積)

になります。

ということで展開するときに使う公式の1つめ

( x + a )( x + b )＝x² + ( a + b )x + ab

が出来ます。

次は ( x + a )²  を展開してみましょう。

( x + a )² = ( x + a )( x + a ) ですから・・・

( x - a )² = ( x - a )( x - a ) ですからこれを展開すると・・・

以上から公式

( x + a )² = x² + 2ax + a²

( x - a )² = x² - 2ax + a²

が得られます。

最後に ( x + a )( x - a ) を展開してみましょう。

( x - a ) = { x + (-a) } ですから・・・

よって、公式

( x + a )( x - a ) ＝ x² - a²

が得られます。