二項定理 演習2

次のものを求めてください。

( x-2y )⁸ の展開式における x⁵y³ の係数

( a+b+c )¹⁰ の展開式における a²bc⁷ の係数

( x²+x+1 )¹⁰ の展開式における x⁵ の係数

( 2x-y+z )⁸ の展開式における x²y³z³ の係数

xの式( 1+x+ax² )⁶ を展開したときのx⁴ の係数が最小値をとるときのaの値

( x- 2/x +2 )⁹ を展開したときのx⁵ の係数

また、全ての係数の総和(ハイレベル)

( x²- 1/2x³ )⁵ の展開式における定数項

( 3x²+x-2 )⁵ の展開式における x⁶ の係数

まず多項定理(項が3つ)の振り返りをします。

ところで、重要なのは１行目と２行目のどちらだと思いますか？

答えは１行目、ではありません、２行目です。

多項定理に限らず、他の公式、その適用条件をしっかりと見直しましょう。

2-1

3-1

3-2

「pは整数」ではなく「p∈Z」と書くと数秒を稼げます。

また、特定の数をアルファベットで表すときがあります。

複素数・・・C

自然数・・・N

有理数・・・Q

実数　・・・R

整数　・・・Z

5-1

こちらで紹介したやり方で、2行で片付けましょう。

なんて計算してたら試験時間、来来来世まであっても足りませんヨッ！

6-1

3つの項全てに 9・8 があるからまとめるのは最後にします。

分配法則が使えないか考えます。

6-2

 多項式 P(x) の全ての係数の総和は P(1) 、すなわち

x = 1を代入すると得られます。

が、それで終わってしまっては暗記数学と何ら変わりありません。

なのでこれから解説をします。

そもそも、

多項定理 ＝ n個の箱からボールを1つずつ選ぶこと

です。

今回の式 ( x- 2/x +2 )⁹では、こうなります。

次に、x^p-q の指数のハンイを考えます。

xの指数が最大になるのは xを9コ、-2/x を0コ選んだときで、最小になるのはxを0コ、-2/x を9コ選んだときです。

よって、f(x) =  ( x- 2/x +2 )⁹とすると、

と表せます。

今回求めるのは全ての係数の総和ですから、問を満たす値は

ということになります。

次に、①と②とを比較します。

①と③とが同値でなければなりませんから、

を満たす必要があります。

これを成立させるxの値は1、よって x=1 です。

確かに

より、求める値と同じです。