1次関数と方程式

さて、この単元では方程式と1次関数をリンクさせて考えます。

まずは2つの文字 x , y を含む2元1次方程式

2x + y = 3  - ①

において、xにいろいろな値を代入してみましょう。

今度は、上の x , y の値を座標（ x , y ）とみなしてグラフをかきます。

上のグラフのように、2x + y = 3 を満たす（ x , y ）の値の組はいくらでもあります。

さらに多くの（ x , y ）の組をとってグラフをかきます。

式①において、xにある値を代入するとyの値がただ1つに決まりますから①は関数です。

2x + y = 3 を y = ax + b の形にするために2xを移項して

y = -2x + 3  - ②

にします。

y = -2x + 3 は傾き-2、切片3の1次関数です。

したがって、方程式はグラフとして考えることができます。

そして y = -2x + 3 、すなわち傾き-2、切片3の直線を方程式 2x + y = 3 のグラフといいます。

2元1次方程式のグラフは、グラフが通る2点の座標を求めてかくこともできます。

例えば方程式 2x – 3y = 6 のグラフを図示してみましょう。

2x – 3y = 6 は x = 0 のとき y = 2 、

y = 0 のとき x = -3 です。

よって、グラフは（ 0 , 2 ）, ( -3 , 0 ) を通る直線です。

このようにして、2元1次方程式のグラフをかくことができます。

今度は2元1次方程式 ax + by = c の

a = 0 のとき、 b = 0 のときを考えます。

まずは a = 0 の場合です。

方程式 2y = 4 のグラフをかいてみましょう。

2y = 4 は、 0x + 2y = 4 と同じです。

また、0に何を掛けても0になりますからxがどのような値をとっても 2y = 4 、つまり y = 2 が成立します。

よって、グラフは下の通りです。

次はb = 0 の場合です。

例えば 3x = 6 のグラフはどうなるでしょうか？

3x = 6 は 3x + 0y = 6 と同じです。

よってyがどのような値をとっても 3x = 6 、

つまり x = 2 です。

よって 3x = 6 のグラフは下の通りです。

以上から、

2元1次方程式 ax + by = c (a , b , c は定数)

のグラフは直線になります。

特に a = 0 , b = 0 の場合は下のようにかけます。

最後に、2つの2元1次方程式を同一座標平面上にかきます。

方程式 2x - y = 1 - ③ , x + y = 5 - ④

のグラフを図示します。

どうやら③、④は点 ( 2 , 3 ) で交わるみたいですが…。

次は③、④のxにいろいろ代入したときのyの値を調べます。

すると、x = 2 のとき 2x - y = 1 , x + y = 5 、そのどちらも y＝3です。

今度は連立方程式

を解きます。

(③+④)より 3x = 6 だから x = 2 です。

これを④に代入して 2 + y = 5 、y = 3 です。

したがって、③ , ④ のグラフの交点の座標は③ , ④ を組み合わせた連立方程式の解です。

一般に、

（２元１次連立方程式の解）＝（それぞれの方程式のグラフの交点）

が成り立ちます。