1次関数

筆者が考える「中2数学2本柱」の2本目、1次関数に突入します。

・・・といっても、「中１の比例で  y = ax  みたいなの出てきたな～」って思えたらそんなに難しくないですよ。

というのも、1次関数は一般に  y = ax + b  とかけるからです。

比例で扱った関数 y = ax に値 b だけが足されたものでしかないからです。

そもそも1次関数とは、２つの変数 x , y について、

y が x の１次式で表されるもののことを言います。

あくまで y = ax + b とかける式が1次関数ですから比例・反比例で出てきた y = ax は、b＝0 としたものです。

カップラーメンを食べるためにお湯を沸かすことを考えます。

水温が15℃で、沸かしてから1分毎に5℃上昇したとします。

このときお湯の温度y（度）と経過した時間x（分）の関係は下の通りだとします。

yとxの関係について y = 5x + 15 が成り立ちます。

このとき1次関数 y = 5x + 15の値の変化を調べてみましょう。

お湯を沸かして1分後から3分後になったとき、お湯は何度上昇したでしょうか。

xが1から3に増加したときのxの増加量は1→3、

つまり2です。

また、yは（ 5 × 1 + 15 ）→（ 5 × 3 + 15 ）、

つまり10です。

xが2から7に増加したときｘの増加量は2→7より5です。

このときyは（5×2+15）→（5×7+15）より、25です。

xが1→3、2→7のどちらでもyの増加量はxの増加量の5倍です。

よって、

であることが言えます。

xの増加量に対するyの増加量の割合を変化の割合といいます。

それは y = ax + b の a と同じです。

つまり、

が言えます。

上の式から

となり、このaはxの値が1だけ増加したときのyの増加量と等しいです。

先程、1次関数は y = ax + b と同じである、と言いました。

また、比例・反比例で y = ax が出てきました。

y = ax+b は y = ax に値bを足したもの、と考えられますが、じゃあ値bは何を意味するのでしょうか？

y = 2x における x , y  の値の組を調べてみましょう。

今度は y = 2x + 2 における x , y の値を調べてみましょう。

y = 2x、y = 2x + 2について、xの値に対応するyの値を1つにまとめます。

一番下の、3段ある表を見れば分かるように、xのどの値についても、それに対応するy = 2x + 2 の値は

y = 2x の値よりも2大きいです。

y = 2x のグラフは下の通りです。

2x + 2 は、2xに2を足したものです。

したがって y = 2x + 2 は y = 2x 上の点を全てy方向に+2だけ平行移動させたものです。

つまり、y = ax + b のbは、比例のグラフ y = ax のグラフ上の点を全て、どれだけy方向に平行移動させたか、を言い表しています。

また、それは、x＝0 のときのyの値であり、グラフがy軸と交わる点（ 0 , b ）のy座標です。

この値bのことを、1次関数 y = ax + b のグラフの切片といいます。

y = ax + b の変化の割合aは、y = ax + b の傾きといいます。

これまでに説明したことをまとめると、

1次関数 y=ax+b の

a は傾き、bは切片

となります。

y = ax + b の a の値が a > 0 , a < 0 のときのグラフです。

1次関数のグラフは、傾きと切片をもとにかくことが出来ます。

y = 2x + 1 のグラフをかいてみましょう。

切片は1ですから、グラフはy軸上の点（ 0 , 1 ）を通ります。

また、傾きが2ですから、右へ1だけ進むとき、上に2だけ進みます。

したがって、点（ 0 , 1 ）から右へ1、上に2だけ進んだ点（1 , 3 ）もグラフ y = 2x + 1 上の点です。

よって、2点（ 0 , 1 ）、（ 1 , 3 ）を通る直線を引くと y = 2x + 1 のグラフがかけます。

逆に、上のグラフから y = ax + b の a , b の値を求めることが出来ます。

ですから、x＝0 のとき y ＝ 1、xが右方向に1進むと上方向に2進むことから a = 2 , b = 1 より上のグラフは y = 2x + 1 であることが分かります。