多角形の角

三角形の角度の和は180°、四角形の角度の和は360°であることを算数で学びました。

今度は五角形、六角形、…、つまり多角形について触れていきます。

多角形を示すときには、頂点の名前を反時計回りに沿ってあげていきます。

これは三角形、四角形も同様です。

例えば、六角形ABCDEFは下のように表します。

上図の∠BAPのように、一辺とその隣辺の延長とが作る角を、その頂点における外角といいます。

また、∠BAF、∠ABCなどを内角といいます。

多角形の内角の和と外角の和を求めましょう。

まず、内角の和を求めます。

そのためには、1つの頂点から対角線を引いて多角形の中に三角形を作ります。

多角形を、1つの頂点から出る対角線で三角形に分けると（辺の数-2）個の三角形が出来ます。

その各々の三角形の角度は180°です。

よって、

 (多角形の内角の和)＝180° × (多角形の辺の数 -2 ）

 と表されます。

次は多角形の外角の和です。

どの頂点でも、内角と外角の和は180°です。

したがって、5つの頂点の内角と外角の和は

180° × 5＝900°、つまり900°です。

5つの頂点の内角の和は180° × ( 5 - 2 ) ＝540°であり、

（内角の和）+（外角の和）

＝ 540° +（外角の和）

＝ 900°

が成り立ちます。

よって、（外角の和）＝ 360° です。

なにも五角形に限ったことではなく、n角形の外角の和は360°（nは3以上の自然数）です。

n角形の内角と外角の和＝180° × n、

n角形の内角の和は180° ×（ n -2 ）です。

したがって

となります。

よって、nを3以上の自然数としてn角形の外角の和、すなわち多角形の外角の和は360°なのです。