円内にある角についての定理と円周角の定理、その利用

ここでは円周角の定理に代表する、円の内側にある角について触れていきましょう。

円Oがあります。

中心は点Oとします。

円O上に2点 A , B をおき、∠AOB を作ります。

次に、点Aまたは点Bとを重ならないように点Pをおき、∠APB を作ります。

このとき円Oにおいて、弦ABを除く円周上の点をPとして、∠APB に対する円周角といいます。

その円周角∠APB と中心角∠AOB について下の関係が成り立ちます。

∠APB＝1/2 ∠AOB

つまり、円周角∠APB の角度は中心角∠AOB の半分となります。

点Pが弦AB上に無いのであれば点Pがどこにあろうとも ∠APB＝1/2∠AOB です。

さらに、1つの弧に対する円周角の大きさは全て一定です。

これらについてを円周角の定理といいます。

円周角の定理：1つの弧に対する円周角の大きさは一定で、その弧に対する中心角の半分である。

したがって、中心角が 180° 、すなわちABが円Oの直径であるとき、A , B と異なる点Pをとると

∠APB ＝ 90° 、つまり直角です。

逆に3点 A,P,B が円周上にあって、∠APB＝90° であればABは直径です。

円周角の定理には逆があります。

円周角の定理の逆：4点 A , B , P , Q について、P , Q が直線ABと同じ側にあって、

∠APB ＝ ∠AQB ならば、4点 A , B , P , Q は1つの円周上にある。

「P , Q が直線ABと同じ側にあって」とは、このようなことです。

つまり点P、点Q両方とも直線ABの下にあるとき「同じ側にある」といい、

「Pが上でQが下」or「Pが下でQが上」

のとき、点Pと点Qは直線ABと同じ側にありません。

同じ側にあるようにP、Qをおき、さらに

∠APB = ∠AQB であるとき、4点 A , B , P , Q は1つの円周上にある、それを言うのが円周角の定理の逆です。

今度は、弧を2つ以上とります。

下の円Oで弧ABと弧CDを長さが等しくなるようにとり、それぞれの弧に対する円周角∠APB , ∠CQD をとります。

このとき ∠APB＝∠CQD です。

また、弦ABと弦CDの長さは等しくなります。

まとめると1つの円について下の性質が成り立ちます。

・等しい円周角に対する弧は等しい

・等しい弧に対する円周角は等しい

・等しい弧に対する弦は等しい

先程やった円周角の定理を使うとさらに新しい定理が見つかります。

まず円の内部に点Pをとり、Pを通る2つの直線をかきます。

このとき △ACP ∽ △DBP です。

△ACP ∽ △DBP より PA : PC = PD : PB です。

比例式 a : b = c : d ならば ad = bc を用いると

PA × PB＝PC × PD が言えます。

これを、方べきの定理といいます。

方べきの定理：円の内部に点Pをとり、それを通る2つの直線と円の交点をA , B , C , D とする。このとき PA × PB＝PC × PD が成り立つ。