難しい積分・60の巻

答え↓ 

イ 

ロ 

ハ 

さて、答えが 

であることが分かりました。

これを 

の形に変形します。

a,b はそれぞれ 5 , 6 でokです。

しかし c ~ g は分かりません。

というか s(4/5)π , s(6/5)π の値を根号を用いて表さなければなりません。

そのために何を使えばいいのでしょうか。

まず意識して欲しいことがあって、それは

sinθ , cosθ , tanθ の値がキレイになるときのθの値はごくごく一部

であることです。

考えてみれば三角関数において主に出てきたθの値は

だったはずです。

(4/5)π , (6/5)π は分母が 1 , 2 , 3 , 4 , 6 でないのでもしも具体的な値を求めるとしたら一味違った解き方をするはずです。

だから、θ が (N/5)π であるときの問題、解法が何か無かったかを思い出してみます。

すると出てくるでしょう、 

なんかが。

( π - θ ) 、( 2π - θ )を使って2倍角、3倍角に持ち込んで解くときに θ = (N/5)π が登場します。

今回、知りたい値は s(4/5)π , s(6/5)π なので 4 = 2 × 2 ,

6 = 3 × 2 であることから θ = (2/5)πとしてsinを使った等式を作ります。 

ですから θ = (2/5)π のとき 

が成り立ちます。

これを使って s(2/5)π の値を求めます。

こうして、欲しかった値が得られました。

最後に各々代入してラストスパートを決め込みましょう。 

ニ