しっしーのお計算ん向上委員会

計算の解説に究極特化してます。計算は、すっごくたのしい遊びだよ!!

難しい積分・10の巻

f:id:manaveemath:20190619183424j:plain

答え↓

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f:id:manaveemath:20190619183439j:plain

 

 

 

f:id:manaveemath:20190619183454j:plain

誘導に乗った場合、dx と dt の関係を求めるときにちょっと計算します。

 

なんでそういう置き換えをするのかが分からないまま誘導に乗っかったでしょうが、そうしたことで後半の式がキレイになって驚いたのでは?

 

ほぼ全ての人が誘導に乗ったでしょうが、実は誘導を無視して解くことが出来ちゃうんです。

 

f:id:manaveemath:20190619183512j:plain

 

 

あの一文を見た人は皆、こう思うはずです。

 

f:id:manaveemath:20190619183539j:plain

 

この置換にはちゃんとした根拠があります。

 

それを、失敗した過程も含めて提示します。 

 

f:id:manaveemath:20190619183553j:plain

 

よって、 x = sθ とおく方法は失敗に終わりました。

 

が、長年の経験から三角関数を用いるやり方は間違っていないのではと思い、ちょっと考えました。 

 

f:id:manaveemath:20190619183608j:plain

 

よって、 x = 1 / cθ とおけば良いことが分かりました。

 

次に、両辺を微分します。

 

f:id:manaveemath:20190619183621j:plain

 

 

 

f:id:manaveemath:20190619183636j:plain

波線部を見て下さい。

 

約分したくなる気持ちは分かりますがまだやってはいけません。

 

なぜならば、一方の tan には絶対値記号が付いてるからです。

 

θの値によっては | tθ | は正の値をとったり負の値を取ったりします。

 

よって、tanθ の値が正か負かで分けて考える必要があります。 

 

 

f:id:manaveemath:20190619183656j:plain

 

 

 

f:id:manaveemath:20190619183714j:plain

 

 

 

f:id:manaveemath:20190619183733j:plain