しっしーのお計算ん向上委員会

計算の解説に究極特化してます。計算は、すっごくたのしい遊びだよ!!

ヨビノリ今週の積分・ファボ26の解説

 

満員電車に乗ってたらスピッツのロビンソンを鼻歌で歌ってる人がいたとのことですが、疲れてるときに素が出やすいと言います。

 

だからその曲がその人にとっての好きな曲だったのでしょう。

 

尚、ぼくは小学校の放課後にあった図書委員会の活動時にマリオパーティー3のタル叩くミニゲームのSEをつぶやいてたら聞かれてて恥ずかしい思いをしました。

 

 

 

 

はいでは試験では動画の通りにやってもらうとして2通りの別解を解説しまーす。

 

1つめは二倍角の公式の利用、

2つめは t = tan x/2 を利用した三角有理関数表示

となっております。

 

二倍角を使うと 1 / sin x や 1 / cos x の積分と同じようにして解けます。

 

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(c 2x) - 1 ≦ 0 を考慮して絶対値記号を外すと答えは、

 

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ではありません!!!

 

先程の計算には一か所、致命的な間違いを誘発するでっかい落とし穴があるんです!!

 

それはどこか分かりますか?

 

ここです!!

 

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この部分の計算が違うんです!!

 

早く計算するために省けるところは省くべきですが、

aを0、1以外の実数として

sin ax 、cos ax の逆数の積分ではちゃんと t = ~ とおいてあげましょう。

 

するとやっぱり間違ってたんだな、と納得がいきます。 

 

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これが正しい答えです。

 

 

 

次に、 t = tan x/2 とおいて解きます。

 

が、正直にいうとこの解法は推奨できません。

 

二倍角を用いた解き方と比べて、本解法は下ごしらえ、微分、分母が3項の分分が登場するので計算量が約2倍に膨れあがってしまいます。

 

なので、こんなやり方もある程度の認識で構いません。

 

まあ、誘導で出たときを想定してやってみるのも悪くありませんが。

 

 

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積分定数は適宜1つの文字にまとめております。

 

最後の4行あたりは今週の積分#14の9:30~の話と同じことをしています。

 

この操作をすると複雑な式が一転、

ln | t x | + C

 という、簡潔な答えが得られます。