相似な図形

△ABC と △DEF とがあります。

中2数学で図形の合同についてやりました。

「3辺がそれぞれ等しい」や、「斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい」といった三角形の合同条件を満たすと2つの三角形または直角三角形は合同となります。

このとき上の△ABC、△DEFに対して次のことがいえます。

・ AB = DE , BC = EF , CA = FD

・ ∠A = ∠D , ∠B = ∠E , ∠C = ∠F

もちろん、三角形の合同条件を満たさなければ2つの三角形は合同とはいえません。

しかし、三角形の辺や角、例えば AB : DE = 1 : 2 及び BC : EF = 1 : 2 かつ ∠B = ∠E だったりすると合同とはまた違う新たなる性質、相似となります。

ある1つの図形Aと、それを形を変えずに一定の割合に拡大あるいは縮小した図形Bがあります。

このとき図形Bは図形Aと相似である、といいます。

下の図において、四角形(ア)と四角形(イ)は相似です。

また、四角形(ウ)を裏返す、つまり D’’ C’’ を対称の軸となるように対称移動させたり回転させると四角形(イ)と合同になります。

そういった場合でも四角形(ア)と四角形(ウ)は相似です。

四角形(ア)と(イ)について、例えば(イ)の全ての辺が(ア)の全ての2倍の長さであるとき、次のことが成り立ちます。

・A’B’ = 2AB , B’C’ = 2BC , C’D’ = 2CD , D’A’ = 2DA

・∠A’ = ∠A , ∠B’ = ∠B , ∠C’ = ∠C , ∠D’ = ∠D

四角形ABCD と 四角形A’B’C’D’ が相似であることを言い表すときは、相似を表す記号“∽”を用いて、

四角形ABCD ∽ 四角形A’B’C’D’

と書きます。

多角形の相似を記号 ∽ を使って表すときは、対応する頂点の名前を周に沿って同じ順で書きます。

例えば六角形では下の通りです。

相似な三角形では、一般に次のことが成り立ちます。

「相似な図形では、対応する部分の長さの比、対応する角の大きさはそれぞれ等しい」

下の図において、△ABC ∽ △DEF とします。

このとき、△ABC と △DEF の対応する辺の長さの比はこの通りです。

AB : DE = 6 : 9 = 2 : 3

BC : EF = 8 : 12 = 2 : 3

CA : FD = 4 : 6 = 2 : 3

となり、いずれも 2 : 3 です。

このように、相似な図形で対応する部分の長さの比を相似比といいます。

例えば上の △ABC と △DEF の相似比は 2 : 3 です。

多角形でなく円の場合、2つの円が相似であるときその相似比は半径の比に等しくなります。

下の図で、円O と 円O’ の相似比は

r : r’ です( 0 < r < r’)。

相似比を用いることで、相似な図形の辺の長さを求めることができます。

上の △ABC と △DEF について、辺BC , EF , DFの長さが不明という条件下で辺DFの長さを求めたいとします。

その場合、次の操作をします。

①：対応する辺の比が等しいことから

AB : DE = AC : DF とする

②：DF = x (cm) とすると 6 : 9 = 4 : x

③：比例式の性質 a : b = c : d ならば ad = bc を用いて②の x の値を求める

④：③を用いることで 6 : 9 = 4 : x ならば 6x = 36 であり、これを解いて x = 6 を得る

よって、辺DFの長さは 6cm であることが分かります。

とまあ、相似について説明しましたが、結局どういう条件を満たせば相似なのか？

以下の3つのうち1つを満たせば相似です。

それでは、先程紹介した三角形の相似条件を使って三角形とある三角形とが相似であることを示してみましょう。

∠A = 90° である △ABC があります。

点Aから辺BCに垂線ADをひきます。

このとき、△ABC ∽ △DBA であることを証明します。