しっしーのお計算ん向上委員会

計算の解説に究極特化してます。計算は、すっごくたのしい遊びだよ!!

2次方程式

中学1年で1次方程式を学習しました。

 

中学2年で連立方程式を学習しました。

 

次数は1のままですが文字の数が2(以上のものもある)に増えました。

 

そして中学3年では例えば x2 - 20x + 96 = 0 といった、文字数の代わりに次数が1増えた方程式を扱います。

 

この式の左辺は2次式で、(2次式)= 0 の形に変形できる方程式を2次方程式といいます。

 

方程式 3x2 - 4x = 2x2 + 1 は移項して整理すると

x2 - 4x - 1 = 0 ですから2次方程式です。

 

このようにはじめは (2次式)=0 の形になっていなくても、移項して整理することによって (2次式)=0 の形になるならばその方程式は2次方程式です。

 

xについての2次方程式は一般に、

ax2 + bx + c = 0 (a≠0)

として表され、先程出てきたx2 - 4x - 1 = 0 では

( a , b , c ) = ( 1 , -4 , -1 )  

です。

 

2次方程式を成立させる文字の値を、その方程式の解といい、その解を全て求めることを、2次方程式を解く、といいます。

 

その2次方程式は様々なものを使って解きます。

 

主に因数分解平方根、解の公式を用います。

 

因数分解

2次方程式 x2 - 12x + 32 = 0 を解くことを考えます。

 

2つの数 a , b の和が -12 、積が 32 になるときの

a , b の値は -4 , -8 なので ( x - 4 )( x - 8 ) = 0 と因数分解できます。

 

が、( x - 4 )( x - 8 ) = 0 の解は何と何なのでしょうか?

 

一般に、2次方程式 ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )  の左辺が因数分解できるとき、下のことを使って2次方程式を解くことができます。

 

2つの数をA , Bとするとき、AB = 0 ならば A = 0 またはB = 0

 

AB=0 は、A × B=0 、つまり「数Aと数Bとを掛け合わせた値は0である」ことを言います。

 

1行上の文は「A × B を計算したら A × B=0 になった、このとき A と B のどちらかが 0 である」ことを言っています。

 

このことを使うと ( x - 4 )( x - 8 ) = 0 は ( x - 4 ) と ( x - 8 ) の積が 0 であることを表しています。

 

つまり x - 4 = 0 または x - 8 = 0 であり、

解は x = 4 , 8 です。

 

“ x = 4 , 8 ” は、「x の値は 4 または 8 である」という意味です。

 

では2次方程式 x2 - 6x - 8 = 0 を解いてみましょう。

 

まずは和が -6 、積が 8 になる二つの数を探します。

 

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よって、和が -6 、積が 8 になる二つの数は -2 と -4 です。

 

x2 - 6x + 8 = ( x - 2 )( x - 4 )

因数分解でき、x - 2 = 0 または x - 4 = 0 だから

x = 2 , 4 。

 

よって解は x = 2 , 4 です。

 

平方根・ax2 - c = 0 形―

 ax2 - c = 0 の形をした2次方程式は、平方根の考えを使って解くことが出来ます。

 

x2 - 9 = 0 を解いてみます。

 

x2 - 9 = 0 の左辺の -9 を右辺に移項して x2 = 9 に変形します。

 

x2 = 9 は、x が 9 の平方根であることを示しているから x = ±3 です。

 

今度は 25x2 - 7 = 0 を解きます。

 

移項して 25x2 = 7 、両辺を 25 で割って x2 = 7 / 25 です。

 

25 の平方根は ±5 で、7 の平方根は ±√7 です。

 

よってx=±√7/5 です。

 

平方根・( x + p )2 = q 形―

 ( x + p )2 = q の形をした2次方程式は、()の中の x+p を1つの数と見て、平方根の考えを使って解きます。

 

( x + 2 )2 = 64 を解いてみましょう。

 

これは x + 2 が 64 の平方根であることを示しています。

 

よって x + 2 = ±8 より x + 2 = 8 、x + 2 = -8 で

x = 6 , -10 が得られます。

 

( x - 3 )2 - 5 = 0 では、( x - 3 )2 = 5 、これは x - 3 の平方根が 5 であることを表すから x - 3 = ±√5 、よって x = 3 ±√5 です。

 

平方根・x2 + rx + s = 0 形―

 x2 + rx + s = 0 の形をした2次方程式では、

( x + a ) 2 = b に変形すれば解けます。

 

では x2 + 6x - 1 = 0 を解いてみましょう。

 

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先程はxの係数が偶数の場合を取り上げました。

 

今度は奇数です。

 

x2 + 3x + 1 = 0 を解いてみます。

 

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―解の公式―

 

・・・とまあ、いろいろな2次方程式の解き方を紹介しましたが、どんな2次方程式でも解ける魔法の公式があるんです。

 

それが2次方程式の解の公式というものです。

 

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これは、2次方程式 ax2 + bx + c = 0 において

a , b , c の値が分かればxの値が分かるという公式です。

 

次のようにして導くことができます。

 

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とやって求まるのですが、こんなんやってらんないですよね。

 

じゃあ代わりにどうするのか?・・・こうします!

 

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分数が消えたことで少しはメンドクサさが無くなりましたね。

 

こんなこと仕事で使うことは無いでしょうけども、あの時チンプンカンプン元気よく~♪だったあの公式が少しでも理解できればなと思います。